Zur Vermeidung des Quotienten im Grenzwert lässt sich stattdessen auch definieren:
\[ f(x) = f(x_0) + m\cdot (x-x_0) + (x-x_0) \cdot R(x-x_0), \]
wobei
\[ \lim\limits_{x \to x_0} R(x-x_0) = 0 \]
Demokurs: Didaktik der Analysis
1. Ableitung
1.4. Definition der Ableitung mittels Linearer Approximation
Diese Definition spielt im Unterricht eine eher untergeordnete Rolle und wird hier nur ergänzend vorgestellt.
\(f\) sei eine in einer offenen Umgebung von \(x_0\in\mathbb{R}\) definierte reellwertige Funktion.
\(f\) heißt differenzierbar an der Stelle \(x_0\), wenn eine Zahl existiert, sodass gilt:
\[ f(x) = f(x_0) + m\cdot (x-x_0) + r(x-x_0),\]
wobei für die Restfunktion \(r\) gilt:
\[ \lim\limits_{x \to x_0} \frac{ r(x-x_0)}{x-x_0} = 0 \]
\(m\) wird dann Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x_0\) genannt; \(f'(x_0)=:m\).
Bedeutung der Definition:
Für lineare Funktionen lässt sich jeder Funktionswert \(f(x)\) aus dem Funktionswert an einer festen Stelle \(x_0\) berechnen, indem die Differenz \(x-x_0\) mit der Steigung \(m\in\mathbb{R}\) multipliziert wird:
\[f(x)=f(x_0) + (x-x_0)\cdot m.\]
Bei nichtlinearen Funktionen muss die Steigung in Abhängigkeit von der Stelle modifiziert werden, doch lokal passt die Approximation gut, sofern die Modifikation \(R(x-x_0)\) lokal klein ist und im Grenzwert verschwindet, d.h.:
\[ f(x) = f(x_0) + (x-x_0) \cdot (m + R(x-x_0)) \text{ mit } \lim\limits_{x \to x_0} R(x-x_0) = 0.\]