Grundlagen der anwendungsbezogenen Hochschulmathematik
1. Zahlen und Terme
1.7. Trigonometrische Gleichungen
Trigonometrische Gleichungen
Allgemeine Grundlagen zum Lösen trigonometrischer Gleichungen
Dieses Kapitel führt kurz grundlegende Verfahren zum Lösen trigonometrischer Gleichungen ein und veranschaulicht diese durch ein paar Beispiele. Folgende Verfahren zum Lösen von Sinus, Cosinus und Tangens-Gleichungen sind Folgerungen aus elementaren Eigenschaften von Sinus, Cosinus und Tangens, wie der Periodizität und der Definition der inversen trigonometrischen Funktionen. Unten nimmt \( n \) alle ganzzahligen Werte an. Für Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen und graphische Darstellungen, siehe auch das Kapitel Trigonometrische Funktionen.
Sinus-Gleichung
Angenommen \( a \in [-1,1] \), so hat die Gleichung \[ \sin(x)=a \] unendlich viele Lösungen \[ x = \arcsin(a)+n \cdot 2\pi \hspace{0.3cm} \textrm { , } \hspace{0.3cm} x = \pi - \arcsin(a)+n \cdot 2\pi. \] Warum hat die Gleichung diese Lösungen? Zuerst ist der \( \arcsin(a) \) definiert als ein Wert \( x \) auf dem Intervall \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \), so dass \( \sin(x) = a \). Also ist offensichtlich zumindest der \( \arcsin(a) \) eine Lösung. Zweitens gibt es die anderen Lösungen wegen der Periodizitäts-Eigenschaft \( \sin(x)=\sin(x+n\cdot 2 \pi) \). Zuletzt ist \( \sin(x) = \sin(\pi - x) \) mit allen Werten von \( x \), weshalb auch \( x = \pi - \arcsin(a)+n \cdot 2\pi\) Lösungen sind.
Cosinus-Gleichung
Ist wiederum angenommen \( a \in [-1,1] \), so hat die Gleichung
\[ \cos(x)=a \]
die Lösungen
\[ x = \pm \arccos(a)+n \cdot 2\pi. \]
Die Situation ist sehr ähnlich zu der Sinus-Gleichung. Während die Sinus-Funktion gleiche Werte in den Punkten \( x \) und \( \pi - x \) hat, gilt für Cosinus die Identität \( \cos(x) = \cos(-x) \) erfüllt, woraus die obigen Lösungen folgen. Beachte, dass \( \arccos(a) \) immer per Definition im Intervall \( [0, \pi ] \) liegt.
Tangens-Gleichung
Lösungen der Tangens-Gleichung \[ \tan(x)=a \] sind \[ x = \arctan(a)+n \cdot \pi. \] Dies liegt an der Definition des \( \arctan(a) \) (welcher immer im offenen Intervall \( ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ \) liegt) und der Tatsache, dass \( \tan(x) = \tan(x+n\cdot \pi) \) für alle ganzzahligen Werte von \( n \) gilt.
Beachte, dass die Tangens-Gleichung \( \tan(x)=a \) Lösungen für alle reellen Werte von \( a \) besitzt, wohingegen die Gleichungen \( \sin(x)=a \) und \( \cos(x)=a \) keine Lösungen besitzen, wenn \( a \) nicht im Intervall \( [-1,1] \) liegt.
Beispiel 6.
Löse die Gleichung \[ \cos\left(3x+\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}. \] Da \( \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} \), kann die Gleichung folgendermaßen gefunden werden: \[ \cos\left(3x+\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \] \[3x+\frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \] \[ 3x = \frac{\pi}{6} +2\pi n \hspace{0.3cm} \textrm{ oder } \hspace{0.3cm} 3x = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi n \] \[x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3}n \hspace{0.3cm} \textrm{ oder } \hspace{0.3cm} x = -\frac{\pi}{6} +\frac{2\pi}{3}n. \]
Beispiel 7.
Nehmen wir an, dass eine alternierende elektrische Spannung als Funktion abhängig von der Zeit ist \[ I(t) = 350 \textrm{V} \sin(294 \frac{1}{\textrm{s}} t + 0{,}02 \textrm{s}). \] Bestimme alle (Zeit-)Punkte auf dem Intervall \( t\in [0 ; 0{,}05 \textrm{s} ] \), so dass \( I(t) = 210 \textrm{V} \). Gib die Antwort in Sekunden mit einer Genauigkeit von vier Nachkommastellen an.
Lösung: Nun ist die Aufgabe die Gleichung \[ 350 \textrm{V} \sin(294 \frac{1}{\textrm{s}} t + 0{,}02 \textrm{s}) = 210 \textrm{V} \] zu lösen, unter der Annahme, dass \( t\in [0 ; 0{,}05 \textrm{s} ] \). Dividieren beider Seiten mit \( 350 \textrm{V} \) liefert \[ \sin(294 \frac{1}{\textrm{s}} t + 0{,}02 ) = 0{,}6. \] Somit sind alle Lösungen durch die Gleichungen \[ 294 \frac{1}{\textrm{s}} t + 0{,}02 = \arcsin(0{,}6) + n\cdot 2\pi \] und \[ 294 \frac{1}{\textrm{s}} t + 0{,}02 = \pi - \arcsin(0{,}6) + n\cdot 2\pi \] gegeben. Ab diesem Schritt werden angenäherte Werte verwendet. Man kann es als den eleganteren Weg sehen, den Lösungsprozess mit genauen Werten zu vervollständigen aber in diesem Fall kann es leichter sein die Ausdrücke zu lesen und zu verstehen, wenn gerundete Werte verwendet werden Da \( \arcsin(0{,}6) \approx 0{,}64350 \), kann die erste Gleichung als \[ t \approx \frac{1}{294}(0{,}6435-0{,}02+n\cdot 2\pi) \textrm{ s} \] \[ \approx (0{,}002121 + n\cdot 0{,}02137)\textrm{ s} \] geschrieben werden und die zweite als \[ t \approx (0{,}008429 + n\cdot 0{,}02137)\textrm{ s}. \] Nun werden nur Lösungen im Intervall \( [0 ; 0{,}05 \textrm{ s} ] \) akzeptiert. Negative Werte von \( n \) liefern eine negative Zeit, also stehen sie nicht zur Debatte. In der ersten Gleichung ist \( t\leq 0{,}05 \textrm{s} \), wenn \( n \) die Werte 0, 1 oder 2 annimmt. In der zweiten Gleichung sind akzeptable Werte für \(n \) nur 0 und 1. Somit gibt es fünf verschiedene Lösungen und mit einer Genauigkeit von drei Nachkommastellen sind dies \[ 0{,}002 \textrm{ s} \textrm{ , } 0{,}008 \textrm{ s} \textrm{ , } 0{,}023 \textrm{ s} \textrm{ , } 0{,}030 \textrm{ s} \textrm{ und } 0{,}045 \textrm{ s}. \]
Beispiel 8.
Löse die Gleichung \[ \sin(4x+1) = \cos(4x+1). \] Dividieren beider Seiten mit \( \cos(4x+1) \) und wir erinnern uns, dass \( \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \), so erhalten wir \[ \frac{\sin(4x+1)}{\cos(4x+1)} = 1 \] \[tan(4x+1) = 1 \] \[4x+1 = \frac{\pi}{4}+\pi n \] \[x = \frac{\pi - 4}{16}+ \frac{\pi}{4}n. \]