Grundlagen der anwendungsbezogenen Hochschulmathematik
5. Differentialrechnung
5.6. Kurvendiskussion
Mit Hilfe der Differenzialrechnung lassen sich Funktionen auf Eigenschaften wie Monotonieverhalten, Krümmungsverhalten oder Extremwerte hin untersuchen. Dabei können die Eigenschaften einer Funktion von Lernenden rein qualitativ untersucht, oder durch Berechnung auch quantitativ bestimmt werden. Eine solche Diskussion lässt sich einerseits durch Vorgabe einer Funktion motivieren oder andererseits durch Vorgabe bestimmter Eigenschaften, was die Konstruktion einer Funktion ermöglicht. Letzterer Fall ist für Modellierungsprozesse von besonderer Bedeutung. Ein entscheidender Schritt im Rahmen der Kurvendiskussion ist der Übergang von einer lokalen Betrachtung einzelner „Stellen“ zu einer globalen Sichtweise der Funktion und ihrer Ableitungsfunktion(en) als Objekte und der Verbindungen zwischen diesen. Die klassische Kurvendiskussion wurde häufig als zu kalkülhaft und durch technologische Entwicklungen (Funktionenplotter o.Ä.) unter praktischen Gesichtspunkten als zunehmend unnötig kritisiert; dennoch stellt sie aus theoretischer Sicht weiterhin ein wichtiges Mittel zum Erlernen des Umgangs mit Funktion dar.
Monotonie
Im Kapitel Eigenschaften von Funktionen haben wir das Monotonieverhalten von Funktionen kennengelernt. Dies werden wir nun mit dem Differenzierbarkeitsbegriff verknüpfen. Dadurch ergeben sich unter anderem die folgenden Monotoniekriterien:
Die Funktion \(f\) sei auf \([a,b]\) differenzierbar. Dann gilt:
Wenn \( \forall x\in [a,b] \;\; f'(x) > 0 \), dann wächst \(f\) auf \([a,b]\) streng monoton
und
wenn \( \forall x\in [a,b] \;\; f'(x) < 0 \), dann fällt \(f\) auf \([a,b]\) streng monoton.
Achtung! Die Umkehrung dieses Satzes ist allerdings nicht richtig. Eine Funktion kann streng monoton steigen, obwohl ihre Ableitung eine Nullstelle hat.
Schränkt man die Forderung lediglich auf Monotonie ein (und nicht auf strenge Monotonie), so gilt auch die Umkehrung der Aussage (vgl. Satz 3 in Kapitel 5.4):
Die Funktion \(f\) sei auf \([a,b]\) differenzierbar. Dann gilt die folgende Äquivalenz:
\( \forall x \in [a,b] \; \; f'(x) \leq 0 \Leftrightarrow f \) ist auf \( [a,b] \) monoton fallend.
Krümmungsverhalten
Stellen wir uns vor einen differenzierbaren Graphen wie eine Streckenkarte von oben herab entlang zu fahren, dann sind die lokalen Maxima und Minima diejenigen Stellen, an denen wir am meisten mit dem Lenkrad einschlagen müssen. Dabei kann man unterscheiden, ob wir das Lenkrad nach rechts oder links einschlagen müssen.
Eine Funktion \(f\) heißt auf einem Intervall \([a,b]\) streng konvex (d.h., ihr Graph ist dort strikt links-gekrümmt), wenn für alle \(x_1,x_2,x_3 \in [a,b]\) mit \(x_1 < x_2 < x_3\) die folgende Beziehung gilt:
\[ \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} < \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2} \]
Anschaulich bedeutet dies, dass von zwei beliebigen aneinandergrenzenden Sekanten die jeweils rechte stärker steigt (steiler ist) als die jeweils linke. (Es liegt also ein „Links-Knick“ vor.)
\[ \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} > \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2} \]
Eine Funktion \(f\) ist auf einem Intervall genau dann konvex, wenn \(-f\) konkav ist.
Die Krümmung eines Grafen kann man allerdings nicht direkt mittels der Steigung herausfinden. Wir benötigen hierfür die Steigung der Ableitung, also die zweite Ableitung.
Dies wollen wir uns anhand eines einfachen Beispiels überlegen: Sei \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) mit \( f(x)=x²+4 \). Diese Parabelfunktion ist linksgekrümmt, wenn wir sie entlang fahren, mit maximaler Krümmung im Punkt \( (0|4) \). Da der Graph für \( x \)- Werte kleiner als 0 fällt und größer als 0 steigt, ist der Graph der Ableitung für \( x \)-Werte kleiner als 0 negativ und größer als 0 positiv (und in \(x=0\) auch 0, da ein Minimum vorliegt). Wenn wir von dieser Funktion wiederum die Ableitung bestimmen, dann muss der Wert in \( x=0 \) größer als 0 sein. Denn die Steigung ist in diesem Punkt größer als 0, da der Graph von unterhalb der \(x\)-Achse nach oberhalb der \(x\)-Achse verläuft wie im Bild zu sehen ist.
Definition 1.
Sei \(f: I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) zweimal differenzierbar. Dann ist der Graph von \( f \) im Intervall \( I \) rechtsgekrümmt genau dann, wenn \( f''(x)<0 \) für \(x \in I \) und linksgekrümmt im Intervall \( I \) genau dann, wenn \( f''(x)>0 \) für \(x \in I \). Im Fall \( f''(x) \) hat der Graph in diesem Punkt keine Krümmung bzw. die Krümmung 0.
Hinweis: Mithilfe der zweiten Ableitung lässt sich nur die Art der Krümmung bestimmen, jedoch nicht deren Wert. Dieser ist nur proportional zur zweiten Ableitung!
Wir können also zusammenfassen:
Eine auf einem Intervall \([a,b]\) differenzierbare Funktion ist dort genau dann streng konvex (bzw. streng konkav), wenn ihre erste Ableitung streng monoton steigend (bzw. streng monoton fallend) ist.
In Kombination mit dem Monotoniekriterium ergibt sich, dass eine zweifach differenzierbare Funktion, deren zweite Ableitung auf einem Intervall positiv ist, dort einen strikt links-gekrümmten Graphen besitzt.Mithilfe der Krümmung können wir nun Kandidaten für lokale Extrema, die wir mittels Nullstellenbestimmung der Ableitung identifiziert haben, genauer betrachten. Haben wir eine nach rechts gekrümmte Kurve der Funktion \( f \) und haben wir im Punkt \(x_0\) die Steigung 0, so müssen die Funktionswerte links von \( x_0 \) kleiner als \( f(x_0) \) sein. Analog müssen die Funktionswerte rechts von \( x_0 \) wieder kleiner als \( f(x_0) \) sein. Bei \( x_0 \) handelt es sich demnach um ein lokales Maximum. Genauso kann man linksgekrümmt und lokales Minimum miteinander verknüpfen.
Diese Erkenntnis wollen wir kurz und prägnant festhalten.
Sei \(f: I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) zweimal differenzierbar. Zudem sei \( f'(x_0)=0 \). Dann hat \( f \) in \( x_0 \) ein lokales Maximum, wenn \( f''(x_0)<0.\) lokales Minimum, wenn \( f''(x_0)>0.\) Im Fall \( f''(x_0) \) liegt kein Extremum vor.
Beispiel 1'
Sei \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definiert als \[f(x) = x^3 -3x + 1.\] Dann ist \[f'(x) = 3x^2-3\].
Wir haben die Kandidaten als \( x_0 = -1 \) und \( x_1 = 1 \) schon berechnet. Wir bestimmen weiter die zweite Ableitung der Funktion \(f \) \[ f''(x) = 6x. \] Nun ist \( f''(-1) = -6 \) und \( f''(1)=6 \). Demnach hat \( f \) in \( x_0 \) ein lokales Maximum und in \(x_1 \) ein lokales Minimum - wie wir auch schon graphisch gesehen haben.
Kurvendiskussion
Hier ein Beispiel für eine ausführliche Kurvendiskussion.
- Nullstellen
- Extremwerte
- Krümmungsverhalten
- Symmetrie und Verhalten im Unendlichen
- Zeichnen des Graphen.
Wir führen im Folgenden eine ausführliche Kurvendiskussion für die Funktion \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto -x^4+8x^2-16 \) aus.
Nullstellen:
Gesucht sind alle Punkte \( x \in \mathbb{R} \) mit \( f(x)=0 \). Da es es sich bei \( f \) um ein Polynom vierten Grades handelt, gibt es kein (praktikables) allgemeines Verfahren. Wir wollen deshalb zwei Varianten bespechen - natürlich würde eine davon genügen.
Variante 1: Wir erkennen, dass im Funktionsterm nur gerade Exponenten auftauchen und substituieren ("ersetzen") \( x^2 \) durch \( u \). Wir erhalten dann
\[f(u) = -u^2+8u-16. \]
Nun haben wir ein Polynom zweiten Grades, dessen Nullstellen wir z.B. mit der Mitternachtsformel oder dem Satz von Vieta finden können. Mit der Mitternachtsformel folgt \( u_{1/2}=\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4\cdot(-1)\cdot(-16)}}{-2} = 4.\)
Wir haben also nur eine (doppelte) Nullstelle.
Zuletzt müssen wir noch resubstituieren, um die Nullstellen unserer ursprünglichen Funktion zu finden. Mit der Substitutionsbedingung folgt dann \( x^2 = u = 4 \), also \( x_1 = 2 \) und \( x_2 = -2 \).
Da wir beim Funktionsterm\( f(u)=-u^2+8u-16 \) eine doppelte Nullstelle erhalten, resubstituieren wir diese auch doppelt und erhalten daher je zweimal die Nullstellen \( x_1 \) und \( x_2 \). Es handelt sich dabei also jeweils um doppelte Nullstellen.
Variante 2: Wie im Kapitel zur Berechnung der Nullstellen dargestellt, kann man auch Nullstellen raten. Hierbei genügt es Teiler des konstanten Glieds zu untersuchen. Bei uns sind das die Zahlen \( -16, -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8, 16. \) Es bietet sich dabei an, mit den betragmäßig kleineren Zahlen zu beginnen und wir erhalten so z.B. \( f(2) = 0 \). Eine Nullstelle ist also sicher schon \( x_1 = 2\).
Wir können nun den Linearfaktor \( (x-x_1)=(x-2) \) mittels Polynomdivision abspalten (vgl. Kapitel 3.4):
Den so erhaltenen Term \( -x^3 -2x^2 + 4x + 8 \) analysieren wir wieder auf Nullstellen. Wieder raten wir die Nullstelle \( x_1 = 2 \), da \( 2 \) ein Teiler von \( 8 \) ist und \( 2 \) eingesetzt Null ergibt. Durch nochmalige Polynomdivision erhalten wir \( -x^2 - 4x -4 \).
Hier kann man weiter z.B. wieder mit Mitternachtsformel vorgehen oder ein \( -1 \) ausklammern, sodass wir die doppelte Nullstelle \( x_2 = -2 \) bzw. den Term \( -(x+2)^2 \) erhalten.
Zusammengefasst kennen wir die Darstellung von \( f \) in Linearfaktoren, nämlich \( f(x) = -(x-2)^2 \cdot (x+2)^2 \), und wir wissen, dass wir zwei doppelte Nullstellen bei \( x_1 = 2\) sowie \( x_2 = -2 \) vorliegen haben.
Extremwerte:
Für Extremstellen müssen wir nach Satz 1 aus Kapitel 5.4 einerseits Punke betrachten, in denen die Ableitung nicht existiert (also insbesondere Randpunkte), sowie die Nullstellen der Ableitungsfunktion.
Da es sich bei \( f \) um ein Polynom handelt, das auf \( \mathbb{R} \) definiert und differenzierbar ist, gibt es keine Punkte, in denen die Ableitung nicht definiert ist.
Für den zweiten Fall bestimmen wir zunächst \( f' \) mittels der Ableitungsregel für Polynome als \( f'(x)=-4x^3 + 16x. \) Wir bestimmen die Nullstellen der Ableitung:
\( f'(x) = 0 \Leftrightarrow -4x^3+16x=0 \Leftrightarrow x \cdot (-4x^2+16) = 0 \Leftrightarrow x \cdot (-4) \cdot (x^2 - 4) \)
\( \Rightarrow \) Da ein Produkt null ist, genau dann wenn einer der Faktoren null ist, sind unsere Kandidaten also \( x_0 = 0, x_1 = 2 \) und \( x_2 = -2. \)
Um zu bestimmen, ob es sich dabei wirklich um lokale Exrema handelt und falls ja um welche Art, nutzen wir die zweite Ableitung, die wir zunächst bestimmen: \( f''(x)= - 12x^2+16. \)
Wir berechnen nun die Werte unserer drei Kandidaten und erhalten \( f''(0) = 16>0, f''(-2)=f''(-2)=-32<0 \).
Da keiner der drei Funktionswerte gleich \( 0 \) ist, handelt es sich (nach dem hinreichenden Kriterium für lokale Extrema), um lokale Extrema, wobei in \( x_0 \) ein lokales Minimum und in \( x_1 \) sowie \( x_2 \) je ein lokales Maximum vorliegt (aufgrund der Vorzeichen).
Zuletzt müssen wir die lokalen Extrema als Punkte angeben, d.h. wir müssen noch deren y-Koordinaten berechnen. Von \( x_1 \) und \( x_2 \) wissen wir, dass es sich um Nullstellen handelt, also \( y_1 = y_2 = 0 \). Für \( y_0 \) erhalten wir \( y_0 = f(x_0) = f(0) = -16 \).
Zusammenfassend haben wir ein lokales Minimum bei \( (0|-16) \) und zwei lokale Maxima bei \( (-2|0) \) und \( (2|0). \)
Krümmungsverhalten: Um das Krümmungsverhalten zu bestimmen, suchen wir nach Wendepunkten, d.h. Punkten an denen sich die Krümmung der Funktion ändert. Da wir die Art der Krümmung über das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen können, muss hierfür die zweite Ableitung gleich Null sein.
Aus \( f''(x)=-12x^2+16 = 0 \) erhalten wir die Gleichung \( x^2= \frac43 \), d.h. \( x = \pm \frac{2 \cdot \sqrt3}{3}. \)
Daraus können wir schließen, dass \( f \) innerhalb der drei Intervalle \( (- \infty, - \frac{2 \cdot \sqrt3}{3}) \) , \( (- \frac{2 \cdot \sqrt3}{3}, \frac{2 \cdot \sqrt3}{3}) \) und \( (\frac{2 \cdot \sqrt3}{3}, \infty ) \) jeweils dasselbe Krümmungsverhalten besitzt; dieses müssen wir nun noch bestimmen.
Dazu setzen wir jeweils einen beliebigen (schönen) Wert aus dem jeweiligen Intervall in die zweite Ableitung ein. Wir nutzen hierfür \( -2, 0 \) und \( 2 \), da \( -2 < - \frac{2 \cdot \sqrt3}{3} \), \( 2 > \frac{2 \cdot \sqrt3}{3} \) und \( 0 \in (- \frac{2 \cdot \sqrt3}{3}, \frac{2 \cdot \sqrt3}{3}) \) und wir diese Werte schon bei den lokalen Extrema berechnet haben:
\( f''(-2)= f''(2)= -32 < 0\) und \(f''(0)=16>0 \).
D.h. im ersten und dritten Intervall ist die Funktion rechtsgekrümmt und im zweiten Intervall linksgekrümmt.
Abschließend bestimmen wir noch die \(y\)-Koordinaten der Wendepunkte. Es ist \( f (\pm \frac{2 \cdot \sqrt3}{3}) = - \frac{64}{9}. \) Also liegen die Wendepunkte bei \( (- \frac{2 \cdot \sqrt3}{3}|- \frac{64}{9}) \) und \( (\frac{2 \cdot \sqrt3}{3}|- \frac{64}{9}) \).
Symmetrie und Verhalten im Unendlichen: Für die Betrachtung der Symmetrieeigenschaften des Graphen betrachten wir uns \( f(-x) \). Es gilt dabei in unserem Fall, dass
\( f(-x) = (-1) \cdot (-x)^4+8 \dot (-x)^2-16=-x^4+8x^2-16 = f(x). \)
D.h. die Funktion ist achsensymmetrisch bzgl. der \(y\)-Achse (Dies hat man auch schon anhand der Lage der Nullstellen, lokalen Maxima, etc. vermuten können).
Das Verhalten im Unendlichen betrachten wir zunächst im Positiven. Es gilt dabei
\( \lim \limits_{x \to \infty} f(x) = \lim \limits_{x \to \infty} -x^4+8x^2-16 = - \infty , \)
denn da es sich bei \( f \) um ein Polynom handelt, hängt das Verhalten lediglich vom Monom mit dem höchsten Exponenten ab; hier \(-x^4\) und es gilt \( \lim \limits_{x \to \infty} -x^4 = - \infty \).
Für die Betrachtung im Negativen können wir nun argumentieren, dass die Funktion achsensymmetrisch ist und deshalb \( \lim \limits_{x \to - \infty} f(x) = \lim \limits_{x \to - \infty} f(x) = - \infty \) gelten muss. Man könnte aber auch wieder das Verhalten von \( -x^4 \) im Negativen betrachten.
Zeichnen des Graphen: Aus den bisherigen Informationen können wir nun einen Graphen skizzieren bzw. zeichnen. Hierfür trägt man die Nullstellen, lokalen Extrema und Wendepunkte in ein Koordinatensystem ein. Mit den zusätzlichen Infos, dass \( \lim \limits_{x \to \pm \infty} f(x) = - \infty \) und \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, erhalten wir den nebenstehenden Graphen.
