Aufgabe 4:
Ein Punkt bewegt sich auf der x-Achse. Sein Ort \(x\) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) ist gegeben durch: \(x = 3t + 2t^2\)
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit \(v(t)\) des Punktes in Abhängigkeit von \(t\).
Hinweis: Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Objekts im Zeitintervall \([t; t+h]\) ist die Änderung des Ortes dividiert durch die Änderung der Zeit.
\(v_{Schnitt} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t+h) - x(t)}{h} [\frac{m}{s}]\)
Die Geschwindigkeit \(v(t)\) des Objekts zur Zeit \(t\) ist der Grenzwert der Durchschnittsgeschwindigkeit für \(h \rightarrow 0\).
Grundlagen der anwendungsbezogenen Hochschulmathematik
5. Differentialrechnung
5.7. Aufgaben
Aufgaben zum 4. Kapitel "Differentiation"
Aufgabe 1:
Bestimmen Sie die Ableitung der Funktionen \(f\), \(g\), \(h\):
Aufgabe 2:
Leiten Sie die Terme nach \(x\) ab:
Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen:
Aufgabe 1:
Bestimmen Sie die Ableitung der Funktionen \(f\), \(g\), \(h\):
- \(f(x) = (x^3 - x^7)^{11}\)
- \(g(x) = \frac{x^3 + 1}{\sqrt{1+x^2}}\)
- \(h(x) = \cos(2x) \cdot \sin(5x)\)
Aufgabe 2:
Leiten Sie die Terme nach \(x\) ab:
- \(\cos(x^3)\)
- \(\sqrt{x^2 + x^4}\)
- \(\cos((x^2 + x^4)^\frac{3}{2})\)
Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen:
- \(f(x) = \ln(\cos(x))\) mit \( - \frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\)
- \(g(x) = \frac{\sin(x) + \cos(x)}{\sin(x) - \cos(x)}\) mit \(\sin(x) - \cos(x) \ne 0\)
Aufgabe 5:
Ein Kanuclub möchte ein Grundstück am Ufer eines Flusses kaufen. In der Mitte der \(460m\) langen geraden Begrenzungslinie ist das Grundstück \(50m\) breit. Bestimmen Sie den Graphen einer Funktion, der die Uferlinie möglichst gut beschreibt. Verwenden Sie ein geeignetes Koordinatensystem.
Ein Kanuclub möchte ein Grundstück am Ufer eines Flusses kaufen. In der Mitte der \(460m\) langen geraden Begrenzungslinie ist das Grundstück \(50m\) breit. Bestimmen Sie den Graphen einer Funktion, der die Uferlinie möglichst gut beschreibt. Verwenden Sie ein geeignetes Koordinatensystem.
Aufgabe 6:
Ein Zinnkrug ist zylinderförmig und hat eine kreisförmige Grundfläche. Wir gehen von einem festen Volumen \(V\) aus. Die Höhe des Kruges bezeichnen wir mit \(h\) und den Radius der Grundfläche mit \(r\).
Ein Zinnkrug ist zylinderförmig und hat eine kreisförmige Grundfläche. Wir gehen von einem festen Volumen \(V\) aus. Die Höhe des Kruges bezeichnen wir mit \(h\) und den Radius der Grundfläche mit \(r\).
- Welche Abmessungen sollte der Krug haben, damit der Materialverbrauch möglichst gering ist?
- Bewerten Sie die Lösung unter a) unter praktischen Gesichtspunkten.