Grundlagen der anwendungsbezogenen Hochschulmathematik
5. Differentialrechnung
5.2. Eigenschaften von Ableitungen
Eigenschaften von Ableitungen
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit nützlichen Eigenschaften der Ableitung. Diese Eigenschaften erlauben es uns Ableitungen für einige bekannte Klassen von Funktionen wie Polynome und rationale Funktionen zu finden.
Stetigkeit und Ableitung
Satz 1.
Wenn \(f\)differenzierbar im Punkt \(x_0\) ist, dann ist \(f\) stetig im Punkt \(x_0\). Es gilt: \[ \lim_{h\to 0} f(x_0+h) = f(x_0).\]
Ist \(f\)differenzierbar, so folgt \[f(x_0)+h\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \rightarrow f(x_0)+0\cdot f'(x_0)=f(x_0),\] für \(h \to 0\).
Bemerkung. Wenn eine Funktion stetig im Punkt \(x_0\) ist, muss sie nicht in dem Punkt differenzierbar sein. Zum Beispiel ist die Funktion \(g(x) = |x|\) stetig, aber nicht differenzierbar im Punkt \(0\). Dies wurde im vorherigen Kapitel im Beispiel ausführlich besprochen. Zur Erinnerung: Man sich leicht vorstellen, wenn man die Ableitung als Steigung der Tangente interpretiert. Im Punkt \(x_0=0\) lassen sich unendlich viele Tangenten anlegen, somit existiert die Steigung der Tangente nicht.
Ableitungsregeln
Die Ableitung einer Funktion ist über den Grenzwert definiert. Dies ist jedoch für das Bestimmen von Ableitungen sehr umständlich. Als nächstes folgen einige wichtige Regeln, die oft für praktische Probleme bei der Bestimmung der Ableitung einer gegebenen Funktion angewandt werden.Im Folgenden seien \(f\) und \(g\) zwei auf \( \mathbb{R}\) definierte auf \( \mathbb{R}\) differenzierbare Funktionen. Betrachtet man Funktionen, die nur auf offenen Intervallen z.B. \(I_1\) und \(I_2\) differenzierbar sind, dann gelten die folgenden Regeln für ein offenes Intervall \(I \in I_1 \cap I_2 \).
Ein konstanter Faktor
Ist \( f \) eine Funktion der Form \[ f(x) = k \cdot u(x) \] mit der reellen Zahl \( k \) und der Funktion \( u \), dann gilt: \[ f'(x) = k \cdot u'(x) \]
Die Summenregel
\[(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)\]
Die Produktregel
\[(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\]
Die Ableitungsregel für Polynome
\[ (ax^m)' = amx^{m-1} \text{, } m \in \mathbb{Z}\]
Die Umkehrfunktion (Reziproke Regel)
\[\Big(\frac{1}{f}\Big)'(x) = - \frac{f'(x)}{f(x)^2} \text{, } f(x) \neq 0\]
Die Quotientenregel
\[(f/g)'(x) = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2},\ g(x) \neq 0\]
Beispiel 1:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}(x^{2006}+5x^3+42) &= \frac{d}{dx}x^{2006}+5\cdot \frac{d}{dx}x^3+42\cdot \frac{d}{dx}1 \\ &= 2006x^{2005}+5\cdot 3x^2+42\cdot 0 \\ &= 2006x^{2005}+5\cdot 3x^2+0 \\ &= 2006x^{2005}+5\cdot 3x^2 \\ &= 2006x^{2005}+15x^2 \end{aligned}\]
Beispiel 2:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx} [(x^4-2)(2x+1)] &= \frac{d}{dx}(x^4-2) \cdot (2x+1) + (x^4-2) \cdot \frac{d}{dx}(2x + 1) \\ &= 4x^3(2x+1) + 2(x^4-2) \\ &= 8x^4+4x^3+2x^4-4 \\ &= 10x^4+4x^3-4.\end{aligned}\]
Bemerkung. Wir können die Antwort überprüfen, indem wir auf eine andere Weise ableiten: \[\frac{d}{dx} [(x^4-2)(2x+1)] = \frac{d}{dx} (2x^5 +x^4 -4x -2) = 10x^4 +4x^3 -4.\]
Die Funktion \( (x^4-2)(2x+1) \).
Beispiel 3:
Für \(x \neq 0\) erhalten wir \[\frac{d}{dx} \frac{3}{x^3} = 3 \cdot \frac{d}{dx} \frac{1}{x^3} = -3 \cdot \frac{\frac{d}{dx} x^3}{(x^3)^2} = -3 \cdot \frac{3x^2}{x^6}= - \frac{9}{x^4}.\]
Bemerkung. Es gibt einen weiteren Weg, um die obige Aufgabe zu lösen, indem man bemerkt, dass \(\frac{1}{x^3} = x^{-3}\) ist und mit der Regel für Exponenten ableitet: \[\frac{d}{dx} \ \frac{3}{x^3} = 3 \cdot \frac{d}{dx} x^{-3} = 3 \cdot (-3x^{-4})= - \frac{9}{x^4}\]
Beispiel 4:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx} \frac{x^3}{1+x^2} & = \frac{(\frac{d}{dx}x^3)(1+x^2)-x^3\frac{d}{dx}(1+x^2)}{(1+x^2)^2} \\ & = \frac{3x^2(1+x^2)-x^3(2x)}{(1+x^2)^2} \\ & = \frac{3x^2+x^4}{(1+x^2)^2}.\end{aligned}\]
Die Funktion \(\frac{x^3}{1+x^2}\).
Satz von Rolle
Version I
Seien \(a<b\) und \( f: [a,b]\to \mathbb {R} \) eine stetige Funktion, die im offenen Intervall \((a,b)\) differenzierbar ist. Und es gelte \(f(a)=f(b)\). Dann existiert ein \(x_0 \in (a,b) mit f'(x_0)=0\).
Version II
Seien \(a<b\) und \( f: [a,b]\to \mathbb {R} \) eine stetige Funktion, die im offenen Intervall \((a,b)\) differenzierbar ist. Wenn \(f\) differenzierbar im lokalen Extremum \(x_0\in \, (a,b)\) ist, dann gilt \(f'(x_0)=0\).
Visualisierung Satz von Rolle
Die L'Hospitalschen Regeln
Ein nützlicher Satz für die Bestimmung von Grenzwerten ist der Satz von L'Hospitalschen. Es gibt viele verschiedene Varianten dieser Regel, aber wir stellen eine einfache Form vor.
Wir nehmen dafür an, dass \(f(x_0)=g(x_0)=0\) gilt und die Funktionen\(f,g\)differenzierbar auf einem Intervall \((x_0-\delta,x_0+\delta)\) sind.
Wenn \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} \] existiert, dann gilt \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}. \]
Wir betrachten \[ \lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x} \]. Es gilt also \[ \lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x} = \frac{sin(0)}{0} = \frac{0}{0} \] Hier kann man den Limes hier nicht direkt ausrechnen. Hier wendet man also die L'Hospitalschen Regeln an. Man betrachtet nun die Funktionen \[ f(x) = sin(x) \] und \[ g(x) = x \] Diese werden getrennt voneinander abgeleitet. Es ergeben sich folgende Ableitungen: \[ f'(x) = cos(x) \] und \[ g'(x) = 1 \]. Als nächstes bestimmt man \[ \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{cos(x)}{1} = \frac{cos(0)}{1} = 1 \]. Somit ist der Grenzwert \[ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{cos(x)}{1} = 1 \]