Grundlagen der anwendungsbezogenen Hochschulmathematik
4. Funktionen II
4.2. Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen
In diesem Abschnitt werden die Rechenregeln mit Grenzwerten erläutert und angewendet.
Bekanntlich kann man in den reellen Zahlen \( \mathbb{R} \) die nachfolgenden vier elementaren Rechenoperationen ausführen:
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Addition: \(a+b\)
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Subtraktion: \(a-b\)
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Multiplikation: \(a\cdot b\)
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Division: \(a\colon b\)
Diese Rechenoperationen gelten jedoch nicht nur für Zahlenmengen wie \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\) oder \(\mathbb{R}\), sondern auch für Funktionen. Beispielsweise gilt:
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Das Ergebnis der Addition der beiden Funktionen \( a(x) = 2x \) und \( b(x) = x^2 \) ist die Funktion \( (a+b)(x) = 2x + x^2 \)
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Das Ergebnis der Subtraktion der Funktion \( b(x) = 4x \) von \( a(x) = 7x+2 \) ist die Funktion \( (a-b)(x) = (7x+2) - 4x = 3x+2 \)
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Die Multipikation der Funktionen \( a(x) = x+1 \) und \( b(x) = x-1 \) liefert \( (a\cdot b)(x) = (x+1) \cdot (x-1) = x^2 -1\)
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Die Funktion \( a(x) = x+3 \), dividiert durch die Funktion \( b(x) = x^3 \) liefert \( \left( \frac{a}{b} \right) (x) = \frac{x+3}{x^3} \)
Diese arithmetischen Rechenoperationen können können nicht nur auf Funktionen, sondern auch (mit gewissen Einschränkungen) auf Grenzwerte von Funktionen übertragen werden. Davon handelt das nächste Theorem:
Satz 1.
Es sei \( c \in \mathbb{R} \), \( \lim \limits_{ x \to x_0 } f(x) = a \) und \( \lim \limits_{ x \to x_0 } g(x) = b \). Dann gelten die folgenden Regeln:
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\( \lim \limits_{x \to x_0 } c f(x) = ca \)
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\( \lim \limits_{x \to x_0 } (f+g)(x) = a+b \)
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\( \lim \limits_{x \to x_0 } (f \cdot g)(x) = a \cdot b \)
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\( \lim \limits_{x \to x_0 } \left( \frac{f}{g}\right) (x) = \left( \frac{a}{b} \right) \) (sofern \( b \neq 0 \))
Bemerkung: Man beachte, dass eine Subtraktionsregel für Grenzwerte in Theorem 1 nicht explizit erwähnt wird. Diese Regel folgt nämlich direkt aus der ersten und dritten Regel:
\[ \lim \limits_{x \to x_0 } (f-g)(x) = \lim \limits_{x \to x_0} (f(x) + (-1) \cdot g(x)) = \lim \limits_{x \to x_0} f(x) + \lim \limits_{x \to x_0} ( -1 \cdot g(x) ) = \]
\[ = \lim \limits_{x \to x_0} f(x) + (-1) \cdot \lim \limits_{x \to x_0} g(x) = \lim \limits_{x \to x_0} f(x) - \lim \limits_{x \to x_0} g(x) \]
Beispiel 1.
Berechne \[\lim \limits_{x\to2}(x^2-x).\] Hier ist \(f(x)=x^2\) und \(g(x)=x\). Aus \[\lim\limits_{x\to2}f(x)=\lim\limits_{x\to2}x^2=(\lim\limits_{x\to2}x)\cdot(\lim\limits_{x\to2}x)=2\cdot2=4\] und \[\lim\limits_{x\to2}g(x)=2\] erhält man \[\lim \limits_{x\to2}(x^2-x)=\lim \limits_{x\to2}f(x)-\lim\limits_{x\to2}g(x)=4-2=2.\]
Beispiel 2.
Berechne \[\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\sin{x}}{\cos{x}}.\] Hier ist \(f(x)=\sin x\) und \(g(x)=\cos x\) und \[\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\cos x =\frac{\sqrt{2}}{2}.\] Damit erhält man \[\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to\frac{\pi}4}f(x)}{\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}g(x)}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1.\]
Beispiel 3.
Berechne \[\lim\limits_{x\to\pi}\frac{x\sin x}{\cos x}.\] Wir geben nun eine verkürzte Lösung an. Es gilt: \[\lim\limits_{x\to\pi}\frac{x\sin x}{\cos x}=\frac{\lim\limits_{x\to\pi}(x\sin x}{\lim\limits_{x\to\pi}\cos x}=\frac{(\lim\limits_{x\to\pi}x)\cdot(\lim\limits_{x\to\pi}\sin x)}{\lim\limits_{x\to\pi}\cos x}=\frac{\pi\cdot0}{-1}=0.\]
Grenzwert einer Komposition von Funktionen
Es gibt eine weitere Regel für Grenzwerte. Diese betrifft die Komposition von Funktionen.
Definition 1
Es seien \(f\) und \(g\) Funktionen und \(f\) sei auf dem Wertebereich der Funktion \(g\) definiert. Die Komposition \( (g \circ f ) \) der Funktionen \( g \) und \( f \) entsteht durch Anwendung der Funktion \(g\) auf das Ergebnis der Funktion \(f\):
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
Beispiele
Die Definitionsmenge der nachfolgenden Funktionen sei jeweils \(\mathbb{R}\).
Beispiel 4.
Falls \(f(x) = x^2\) und \(g(x) = x+2\), dann gilt:
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\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) = x^2 +2 \)
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\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \)
Beispiel 5.
Für \(h(x) = x^3 + 4 \) und \( t(x) = x^2 \) gilt:
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\( (h \circ t)(x) = h(t(x)) = (x^2)^3 +4 = x^6 +4 \)
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\( (t \circ h)(x) = t(h(x)) = (x^3 + 4)^2 = x^6 + 8x^3 + 16 \)
Bemerkung: Die Operation der Funktionenkomposition ist nicht kommutativ, d.h. es gilt im Allgemeinen \( (g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x) \). Dies erkennt man sofort aus den obigen Beispielen.
Das folgende Theorem wendet die Komposition von Funktionen an:
Satz 2.
Es seien \(f(x)\) und \(g(x)\) Funktionen, so dass \( f \colon X \to Y \), \( g \colon Y \to Z \), \( \lim \limits_{x \to x_0} f(x) = y_0 \), \( \lim \limits_{y \to y_0} g(y) = z_0 \) gilt. Dann gilt \[ \lim \limits_{x \to x_0} (g \circ f)(x) = z_0 \]
Beachte dabei, dass wir bei der Funktion \( g \) den Limes gegen den Grenzwert \( y_0 \) von \( f \) betrachten.
Beispiel 6.
Wir wollen den Grenzwert der Funktion \( x \mapsto e^{\frac1x} \) gegen \( 0 \) betrachten.
Zunächst suchen wir die "innere" Funktion \( f \) und "äußere" Funktion \( g \). Manchmal gibt es hierfür meherer Möglichkeiten, in unserem Fall sieht man schnell, dass die äußere Funktion \( g(x) = e^x \) ist und dementsprechend \( f(x) = \frac1x \), da dann \( (g \circ f)(x)= e^{\frac1x} \) gilt.
Nach Satz 2 müssen wir dann \( \lim \limits_{x\to0}(f(x)) = \lim \limits_{x\to0}(\frac1x) \) bestimmen. Da es bei \( \frac1x \) einen Unterschied macht, ob man von links oder rechts gegen die \( 0 \) geht, machen wir eine Fallunterschiedung (d.h. die Ausgangsfrage ist "doof" gestellt).
Von links: \( \lim \limits_{x\to0^-}f(x) = \lim \limits_{x\to0^-} \frac1x = - \infty \)
Wir müssen nun \( g(x) \) gegen diesen Wert "laufen" lassen:
\( \lim \limits_{x\to -\infty}g(x) = \lim \limits_{x\to - \infty} e^x = 0 \)
Gesamt folgt \( \lim \limits_{x\to 0^-} e^{\frac1x} = 0 \)
Von rechts: \( \lim \limits_{x\to0^+} f(x) = \lim \limits_{x\to0^+} \frac1x = \infty \)
Wir müssen nun \( g(x) \) gegen diesen Wert "laufen" lassen:
\( \lim \limits_{x\to \infty} g(x) = \lim \limits_{x\to \infty} e^x = \infty \)
Gesamt folgt \( \lim \limits_{x\to 0^+} e^{\frac1x} = \infty \)
Beispiel 7.
Es soll der Grenzwert der Funktion \( x \mapsto \sin( e^x ) \) gegen \( - \infty \) bestimmt werden.
Hier ist die "äußere" Funktion \( g(x) = sin(x) \) und die "innere" Funktion muss \( f(x) = e^x \) sein, da somit \( (g \circ f)(x) = sin(e^x) \) gilt.
Wir müssen nun also zuerst \( \lim \limits_{x\to - \infty}(f(x)) = \lim \limits_{x\to - \infty}(e^x) \) bestimmen. Da \( e^x \) sich gegen \( - \infty \) immer näher der \( 0 \) annähert, gilt \( \lim \limits_{x\to - \infty}(e^x) = 0 \).
Nach Satz 2 müssen wir jetzt \( g(x) \) gegen den Grenzwert \( 0 \) betrachtet werden. Also benötigen wir \( \lim \limits_{x\to0}(g(x)) = \lim \limits_{x\to0}(sin(x)) = 0 \).
Es gilt also \( \lim \limits_{x\to - \infty}(g \circ f)(x)) = \lim \limits_{x\to0}(g(x)) = \lim \limits_{x\to0}(sin(x) = 0 \).
Beispiel 8.
Die Funktion \( x \mapsto \frac1{x^3 + 1} \) soll an dem Grenzwert \( -1 \) betrachtet werden.
Hier ist die "äußere" Funktion \( g(x) = \frac1x \). Die "innere" Funktion ist in diesem Fall \( f(x) = x^3 + 1 \). Also gilt \( (g \circ f)(x) = \frac1{x^3-1} \).
Nach Satz 2 muss zuerst der Grenzwert von \( f \) betrachtet werden. Wir brauchen also zuerst \( \lim \limits_{x\to-1}(f(x)) = \lim \limits_{x\to-1}(x^3 + 1) \). Da \( f \) ein Polynom dritten Grades ist, geht \( f \) an dem Grenzwert \( -1 \) gegen \( (-1)^3 + 1 = 0 \).
Es gilt also \( \lim \limits_{x\to-1}(f(x)) = \lim \limits_{x\to-1}(x^3 + 1) = 0 \).
Im nächsten Schritt wird der Grenzwert von \( g \) gegen den Grenzwert von \( f \), also \( 0 \) betrachtet. Hier ist allerdings nicht festgelegt, von welcher Seite aus man den Grenzwert annähert, also müssen wir uns beide Möglichkeiten getrennt anschauen.
Von links:
\( \lim \limits_{x\to0^-}(g(x)) = \lim \limits_{x\to0^-}(\frac1x) = - \infty \)
Es gilt also \( \lim \limits{x\to-1^-}(g \circ f)(x) = \lim \limits_{x\to-1^-}( \frac1{x^3 + 1}) = \lim \limits_{x\to0^-}(g(x)) = \lim \limits_{x\to0^-}(\frac1x) = - \infty \).
Von rechts:
\( \lim \limits_{x\to0^+}(g(x)) = \lim \limits_{x\to0+}(\frac1x) = + \infty \)
Dadurch folgt \( \lim \limits_{x\to-1^+}(g \circ f)(x) = \lim \limits_{x\to-1^+}(\frac1{x^3 + 1}) = \lim \limits_{x\to0^+}(g(x)) = \lim \limits_{x\to0^+}(\frac1x) = + \infty \).
