Zwei Spezialfälle einer Potenzfunktion sind uns bereits aus dem letzten Kapitel bekannt:
Für \(n=1\) ergibt sich die lineare Funktion \(f\) mit \(f(x) = ax\) und für \(n=2\) ergibt sich die reinquadratische Funktion \(f\) mit \(f(x) = ax^2\).
Grundlagen der anwendungsbezogenen Hochschulmathematik
3. Funktionen I
3.4. Potenzen und Wurzeln
Potenzfunktionen, Polynome und Potenzreihen
In diesem Kapitel wiederholen wir zunächst die Eigenschaften von Potenzfunktionen und Polynomen. In einem freiwilligen Exkurs führen wir dann noch ein wichtiges Konzept der Analysis ein - die Potenzreihen.
Potenzfunktionen
In diesem Kapitel wiederholen wir zunächst die Eigenschaften von Potenzfunktionen und Polynomen. In einem freiwilligen Exkurs führen wir dann noch ein wichtiges Konzept der Analysis ein - die Potenzreihen.
Potenzfunktionen
Definition 1 (Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten)
Eine Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten ist eine Funktion der Form:
\(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}, x \mapsto a \cdot x^n\) mit festem \(a > 0, n \in \mathbb{N} \)
Eine Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten ist eine Funktion der Form:
\(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}, x \mapsto a \cdot x^n\) mit festem \(a > 0, n \in \mathbb{N} \)
\(n=1,2,3,\cdots \)
Aufgabe:
Variieren Sie bei folgendem Beispiel für \(f(x) = a \cdot x^3\) den Parameter \(a\). Erläutern Sie die Veränderung des Graphen.
Variieren Sie bei folgendem Beispiel für \(f(x) = a \cdot x^3\) den Parameter \(a\). Erläutern Sie die Veränderung des Graphen.
Definition 2 (Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten)
Eine Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten ist eine Funktion der Form:
\(f : \mathbb{R}\backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto a \cdot x^z\) mit festem \(a > 0, z \in \mathbb{Z}\)
Eine Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten ist eine Funktion der Form:
\(f : \mathbb{R}\backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto a \cdot x^z\) mit festem \(a > 0, z \in \mathbb{Z}\)
\(z=\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \)
Die Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponenten lassen sich in zwei Gruppen mit unterschiedlichen Eigenschaften teilen:
\(f(x) = a \cdot x^n\) (natürlicher Exponent, \(n>0\)):
Diese Funktionen haben stets eine Nullstelle für \(x = 0\) und für betragsmäßig "große" \(x\) streben ihre Funktionswerte gegen plus oder minus unendlich. Ihre Graphen nennt man Parabeln \(n\)-ter Ordnung.
\(f(x) = a \cdot x^{-n} = a \cdot \frac{1}{x^n}\) (negativer natürlicher Exponent, \(-n<0\)):
Diese Funktionen haben stets eine Polstelle bei \(x = 0\), d.h. für betragsmäßig "kleine" \(x\) streben die Funktionswerte gegen plus oder minus unendlich. Der Wert \( f(0) \) ist nicht definiert, da durch 0 teilen nicht definiert ist, weshalb die Null in Definition 2 im Definitionsbereich ausgeschlossen ist. Für betragsmäßig "große" \(x\) gehen die Funktionswerte gegen 0.
Sie haben aufgrund der Polstelle zwei Äste, siehe hierfür untenstehendes Applet.
Die Graphen von Potenzfunktionen mit ungeradem Exponent sind punktsymmetrisch zum Ursprung, die von Potenzfunktionen mit geradem Exponent sind achsensymmetrisch zur y-Achse, exemplarisch gilt:
\(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\)
\(f(-x) = (-x)^3 = -(x^3) = -f(x)\)
Für wachsende \(x\) wird der Betrag von \(x^n\) immer größer und \(f(x)\) strebt deshalb gegen \(\infty\) bzw. \( - \infty\)
\(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\)
Für wachsende \(x\) wird der Nenner des Bruchs (bzw. eigentlich sein Betrag!) immer größer und der Gesamtbruch sowie \(f(x)\) streben deshalb gegen 0.
Definition 3 (Potenzfunktion mit Stammbruch im Exponenten)
Eine Potenzfunktion mit Stammbruch im Exponenten ist eine Funktion der Form:
\(f : \mathbb{R}_0^+ \rightarrow \mathbb{R}_0^+, x \mapsto a \cdot x^{\frac{1}{n}}\) mit festem \(a >0, n \in \mathbb{N}\)
Eine Potenzfunktion mit Stammbruch im Exponenten ist eine Funktion der Form:
\(f : \mathbb{R}_0^+ \rightarrow \mathbb{R}_0^+, x \mapsto a \cdot x^{\frac{1}{n}}\) mit festem \(a >0, n \in \mathbb{N}\)
Stammbrüche:
\(\frac{1}{n} = 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots \)
Aufgabe:
Unten sehen Sie den Graphen der Funktion \(f\) mit \(f(x) = x^{\frac{1}{n}}\) für \(n \in \{2, 3, 4, 5, 6\}\). Beschreiben Sie den Graphen und achten Sie dabei auf Definitionsbereich, Monotonie, größte und kleinste Funktionswerte. Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründen Sie!
Unten sehen Sie den Graphen der Funktion \(f\) mit \(f(x) = x^{\frac{1}{n}}\) für \(n \in \{2, 3, 4, 5, 6\}\). Beschreiben Sie den Graphen und achten Sie dabei auf Definitionsbereich, Monotonie, größte und kleinste Funktionswerte. Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründen Sie!
Beispiel 1 (Wurzelfunktion):
Insbesondere ist die Funktion
\(f: \mathbb{R}_0^+ \rightarrow \mathbb{R}_0^+, x \mapsto \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\),
die jeder positiven Zahl ihre Quadratwurzel zuordnet, eine Potenzfunktion. Analog sind auch die k-ten Wurzeln \( \sqrt[k]{x}\) Potenzfunktionen nach der Festlegung \(\sqrt[k]{x} = x^{\frac{1}{k}}\) (vgl. dazu Kapitel 1.3). Die k-te Wurzelfunktion \(f\) mit \(f(x) = x^{\frac{1}{k}} \) ist also die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion \(g\) mit \(g(x) = x^k\) auf dem Intervall \( \mathbb{R}_0^+ \) und \(g\) ist die Umkehrfunktion zu \(f\).
Insbesondere ist die Funktion
\(f: \mathbb{R}_0^+ \rightarrow \mathbb{R}_0^+, x \mapsto \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\),
die jeder positiven Zahl ihre Quadratwurzel zuordnet, eine Potenzfunktion. Analog sind auch die k-ten Wurzeln \( \sqrt[k]{x}\) Potenzfunktionen nach der Festlegung \(\sqrt[k]{x} = x^{\frac{1}{k}}\) (vgl. dazu Kapitel 1.3). Die k-te Wurzelfunktion \(f\) mit \(f(x) = x^{\frac{1}{k}} \) ist also die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion \(g\) mit \(g(x) = x^k\) auf dem Intervall \( \mathbb{R}_0^+ \) und \(g\) ist die Umkehrfunktion zu \(f\).
Definition 4 (Potenzfunktion mit negativem Stammbruch im Exponenten)
Eine Potenzfunktion mit negativem Stammbruch im Exponenten ist eine Funktion der Form:
\(f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+, x \mapsto a \cdot x^{ - \frac{1}{n}}\) mit festem \(a > 0, n \in \mathbb{N}\)
Für ungerades \( n \) kann der Definitionsbereich zu \( \mathbb{R}\setminus\{0\} \) erweitert werden.
Eine Potenzfunktion mit negativem Stammbruch im Exponenten ist eine Funktion der Form:
\(f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+, x \mapsto a \cdot x^{ - \frac{1}{n}}\) mit festem \(a > 0, n \in \mathbb{N}\)
Für ungerades \( n \) kann der Definitionsbereich zu \( \mathbb{R}\setminus\{0\} \) erweitert werden.
Aufgabe:
Vergleichen Sie die Graphen der Funktionen mit negativen Stammbrüchen im Exponenten (blau) mit den bereits bekannten Graphen der Funktionen mit poitiven Stammbrüchen im Exponenten (rot gestrichelt). Achten Sie dabei auf Symmetrie, Monotonie, größte und kleinste Funktionswerte. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründen Sie.
Vergleichen Sie die Graphen der Funktionen mit negativen Stammbrüchen im Exponenten (blau) mit den bereits bekannten Graphen der Funktionen mit poitiven Stammbrüchen im Exponenten (rot gestrichelt). Achten Sie dabei auf Symmetrie, Monotonie, größte und kleinste Funktionswerte. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründen Sie.
Definition 5 (Potenzfunktion mit rationalem Exponenten)
Eine Potenzfunktion mit rationalem Exponenten ist eine Funktion der Form:
\(f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+, x \mapsto a \cdot x^{\frac{p}{q}}\) mit festem \(a > 0, p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}\)
Je nach Vorzeichen und Wert des Zählers sowie Nenners des Exponenten \( \frac{p}{q} \), kann der Definitionsbereich erweitert werden.
Eine Potenzfunktion mit rationalem Exponenten ist eine Funktion der Form:
\(f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+, x \mapsto a \cdot x^{\frac{p}{q}}\) mit festem \(a > 0, p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}\)
Je nach Vorzeichen und Wert des Zählers sowie Nenners des Exponenten \( \frac{p}{q} \), kann der Definitionsbereich erweitert werden.
\(x^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{x^p} \)
Aufgabe:
Vergleichen Sie den Graphen der Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten (blau) mit dem, den Sie schon aus den obigen Abschnitten kennen (rot und lila gestrichelt); mit dem Schieberegler können Sie dazu wieder die Exponenten verändern. Beschreiben Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achten Sie dabei auf Definitionsbereich und Symmetrie.
Vergleichen Sie den Graphen der Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten (blau) mit dem, den Sie schon aus den obigen Abschnitten kennen (rot und lila gestrichelt); mit dem Schieberegler können Sie dazu wieder die Exponenten verändern. Beschreiben Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achten Sie dabei auf Definitionsbereich und Symmetrie.
Verschiedene Potenzfunktionen
Die Darstellung von Funktionen der Form \(f(x) = (\sqrt[k]{x})^p\) als \(f(x) = x^{\frac{p}{k}}\) spielt vor allem beim Ableiten von Funktionen eine Rolle, da sich die bekannten Ableitungsregeln damit auch auf Wurzel-Funktionen übertragen lassen.
Polynome
Polynome werden aus den Potenzfunktionen \(ax^n\) ("Monome") mit natürlichem \(n\) mittels Addition und Subtraktion gebildet. Sie sind auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert.
Polynome werden aus den Potenzfunktionen \(ax^n\) ("Monome") mit natürlichem \(n\) mittels Addition und Subtraktion gebildet. Sie sind auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert.
Definition 6 (Polynom vom Grad n)
Zu \(a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}\) heißt
\(p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sum_{k=0}^n {a_k x^k} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n\)
Polynom vom Grad \(n\), falls \(a_n \ne 0\). Man nennt es normiert, falls \( a_n=1 \) gilt.
Zu \(a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}\) heißt
\(p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sum_{k=0}^n {a_k x^k} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n\)
Polynom vom Grad \(n\), falls \(a_n \ne 0\). Man nennt es normiert, falls \( a_n=1 \) gilt.
Der Grad eines Polynoms gibt also den größten Exponenten aller auftretender Monome an. Für gewöhnlich ordnet man die Summanden absteigend nach Größe der Exponenten.
Nach Definition sind bswp. konstante, lineare, quadratische und Potenzfunktionen Polynome.
Die Graphen der Polynome mit Grad \(>2\) besitzen ein nicht mehr so leicht bestimmbares Verhalten und Aussehen wie die Spezialfälle der Graphen konstanter, linearer und quadratischer Funktionen. Um die Eigenschaften dieser Polynome und deren Graphen zu bestimmen, wendet man das aus der Schule bekannte Verfahren der Kurvendiskussion an, diese wird in Kapitel "Differentialrechnung" ausfühlich behandelt.
Polynome, bei denen nur gerade Exponenten bei den Monomen auftreten, sind achsensymmetrisch zur y-Achse; Polynome, bei denen nur ungerade Exponenten bei den Monomen auftreten, sind punktsymmetrisch zum Ursprung.
Polynome sind in der Analysis von großer Bedeutung, da sie eine (relativ) einfache Funktionenklasse darstellen. Insbesondere sind sie leicht zu differenzieren und integrieren. Darüber hinaus gibt es viele Möglichkeiten komplizierte Funktionen durch Polynome anzunähern.
Nullstellen von Polynomen
Von besonderer Bedeutung in der Analysis sind die Nullstellen von Polynomen \( p \), d.h. diejenigen Werte \( x \) für die \( p(x)=0 \) gilt. Sie werden spätestens in der Kurvendiskussion wieder auftauchen. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt ein Polynom vom Grad \( n \) auch \( n \)-viele komplexe Nullstellen. Wichtig ist hierbei, dass diese komplex sein können. So hat das Polynom \( x^2 + 1 \) keinerlei reelle Nullstellen, aber die zwei komplexen Nullstellen \( i \) und \( -i \). Interessant ist, dass komplexe Nullstellen immer paarweise auftauchen, da auch das komplex konjugierte stets wieder eine Nullstelle ist (vgl. hier \( i \) und \( -i \)).
In diesem Kurs werden wir aber hauptsächlich Polynome betrachten, die nur reelle Nullstellen besitzen. Diese kann man dann auch in einer faktorisierten Form darstellen, d.h. \( p(x)=a \cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2) \cdot \dots \cdot (x-x_n) \) mit \( a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \) und den \(n\) Nullstellen \(x_1,x_2, \dots \). Der Koeffizient \( a_n \) und \( a \) stimmen dabei überein. Beachte außerdem, dass die Nullstellen nicht zwingend verschieden sein müssen. Man spricht je nach Häufigkeit dann von doppelten, dreifachen, etc. Nullstellen.
Für gewöhnlich sind Polynome aber nicht in dieser Form dargestellt und wir müssen zunächst die Nullstellen finden. Für Polynome vom Grad 1 und 2 (Geraden und Quadratischen Funktionen) sind uns schon Lösungsalgorithmen bekannt. Für Polynome vom Grad 3 und 4 existieren zwar Formeln für die Nullstellen, diese sind aber recht komplex und zu empfehlen auswendig zu lernen. Für Polynome vom Grad 5 und höher kann man mit Mitteln der Hochschulalgebra zeigen, dass es keine allgemeine Lösungsformel geben kann, sondern lediglich in Spezialfällen. Wir benötigen also eine andere Herangehensweise.
Polynomdivision
Wir gehen zunächst von einem einfachen Beispiel ausgehen, wo wir eine Nullstelle kennen. Sei \( f(x)=x^3-6x^2-x+6 \). Durch Raten hat man bspw. die Nullstelle \( x_1 = 1 \) herausgefunden, d.h. einer der Faktoren aus unserer Faktorisierung ist \( (x-1) \). Da wir aus einem Produkt die weiteren Faktoren herausfinden wollen und schon einen Faktor kennen, können wir mittels Division vorgehen. Wir gehen dabei wie bei der schriftlichen Division vor:
Zunächst werden sowohl Dividend als auch Divisor der Größe der Exponenten nach sortiert und aufgeschrieben. Da der größte Exponent in \( (x-1) \) das Monom \( x \) ist, teilen wir wiederum \( x^3 \) aus \( x^3-6x^2-x+6 \) durch \( x \) und erhalten als ersten Summanden des Ergebnisses \( x^2 \). Um nun fortzufahren, wird \( x^2 \) mit \( (x-1) \) multipliziert und das Ergebnis \( (x^3-x^2) \) von \( x^3-6x^2-x+6 \) abgezogen. Dies wird schriftlich getan, indem es unter den Ausdruck geschrieben wird.
Wir erhalten \( -5x^2-x+6 \), wobei man das \( +6 \) oben stehen lässt, da es erst im nächsten Schritt relevant ist. Nun beginnen wir von vorn: Wir teilen den ersten Summanden durch \( x \) und erhalten \( - 5x^2 \). Dies wird mit \( (x-1) \) multipliziert und von \( -5x^2-x+6 \) abgezogen. Wir berechnen also \( (-5x^2-x+6)-(-5x^2+5x) \) und erhalten \( -6x+6 \).
Im letzten Schritt teilen wir wieder den ersten Summanden durch \( x \), erhalten \( -6 \), multiplizieren dies mit \( (x-1) \), ziehen das Ergebnis von \( -6x+6 \) ab und bekommen als Ergebnis \( 0 \), d.h. unsere Polynomdivision ging auf. Unser Ergebnis lautet nun \( (x^3-6x^2-x+6):(x-1)=x^2-5x-6 \). Die Kontrolle zeigt auch, dass wir richtig gerechnet haben, denn umgekehrt gilt \( (x^2-5x-6) \cdot (x-1)=x^3-6x^2-x+6 \).
Nun können wir z.B. mithilfe der Mitternachtsformel oder des Satzes von Vieta die Nullstellen von der quadratischen Funktion zu \( x_2= -1 \) und \( x_3 = 6 \) bestimmen und unsere Funktion \( f \) schreiben als \( f(x)=(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x-6) \). Wir haben also das Problem eine Nullstelle eines Polynoms dritten Grades zu finden auf ein Polynom zweiten Grades reduziert.
Erste Nullstelle finden
Nun hatten wir in unserem Beispiel schon eine Nullstelle gegeben. Doch wie geht man vor, wenn man keinerlei Informationen besitzt? Dazu betrachten wir uns die faktorisierte Form eines normierten Polynoms an, also mit \( a=1 \). Dies hat dann die Form \( (x-x_1)\cdot (x-x_2) \cdot \dots \cdot (x-x_n) \). Multiplizieren wir dieses aus, so erhalten wir \( x^n + \dots + x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n \). Das konstante Glied ist also Produkt aller Nullstellen. Umgekehrt heißt dies für die Nullstellensuche: Wir suchen Teiler des konstanten Glieds. Dies funktioniert in vielen Fällen auch, falls \( a \) bzw. \( a_n \) \( \ne 1 \) ist.
In unserem Beispiel \( x^3-6x^2-x+6 \) müssen wir also die Teiler von \( +6 \) betrachten. Diese sind (inkl. Vorzeichen!) \(-1, +1, -2, +2, -3, +3, -6, +6 \). In unserem Fall sind \( -1, +1 \) und \( +6 \) die Nullstellen und da wir ein Polynom dritten Grades vorliegen haben, haben wir auch schon alle Nullstellen gefunden, sodass man auch eine alternative Methode zur Polynomdivision hat. Allerdings funktioniert dies nicht immer, da manche Nullstellen z.B. Brüche oder irrational sein können und man diese eher schwer erraten kann (natürlich trotzdem "erlaubt").
Zum Abschluss hierzu noch ein wichtiger Satz, der aussagt, das z.B. in bestimmten Fällen sogar mindestens eine ganze Zahl, als Nullstelle auftreten muss.
Satz (über rationale Nullstellen)
Sei \( p \) ein normiertes (!) Polynom, das nur ganze Koeffizienten besitzt, d.h. \( a_k \in \mathbb{Z} \) für alle \( a_k \). Wenn \( \alpha \) eine rationale Nullstelle von \( p \) ist, dann ist \( \alpha \) eine ganze Zahl.
Sei \( p \) ein normiertes (!) Polynom, das nur ganze Koeffizienten besitzt, d.h. \( a_k \in \mathbb{Z} \) für alle \( a_k \). Wenn \( \alpha \) eine rationale Nullstelle von \( p \) ist, dann ist \( \alpha \) eine ganze Zahl.
Insbesondere heißt dies (unter den Voraussetzungen des Satzes), dass wenn wir keine ganzen Nullstellen finden können (durch Suche der Teiler des konstanten Glieds), dass wir keinerlei rationale Nullstellen vorliegen haben, d.h. alle Nullstellen irrational oder komplex sind.
Exkurs: Potenzreihen (freiwillig)
Betrachtet man nun unendliche Summen von Potenzfunktionen, so erhält man "Potenzreihen".
Betrachtet man nun unendliche Summen von Potenzfunktionen, so erhält man "Potenzreihen".
Definition 7 (Potenzreihe)
Sei \((a_k)_k\) eine Folge reeller Zahlen und \(x,a \in \mathbb{R}\). Dann heißt die Reihe
\(\sum_{k=0}^\infty {a_k (x-a)^n}\)
Potenzreihe mit Koeffizienten \(a_k\) und Entwicklungspunkt \(a\).
Sei \((a_k)_k\) eine Folge reeller Zahlen und \(x,a \in \mathbb{R}\). Dann heißt die Reihe
\(\sum_{k=0}^\infty {a_k (x-a)^n}\)
Potenzreihe mit Koeffizienten \(a_k\) und Entwicklungspunkt \(a\).
Polynome sind also ein Spezialfall von Potenzreihen, bei denen unendlich viele Koeffizienten (z.B. ab \( a_{n+1} \)) gleich \(0\) sind.
Potenzreihen stellen ein mächtiges Werkzeug in der Analysis dar. Im Folgenden geben wir zwei Beispiele für Potenzreihen. Ausführlich werden diese in der Analysisvorlesung zu Studienbeginn behandelt.
Beispiel 2 (geometische Reihe):
Die geometrische Reihe
\(\sum_{k=0}^\infty {x^k}\)
konvergiert für alle \(x \in (-1; 1)\). Hier stellt sie die Funktion \(f\) mit
\(f (x) = \frac{1}{1-x}\)
dar.
Die geometrische Reihe
\(\sum_{k=0}^\infty {x^k}\)
konvergiert für alle \(x \in (-1; 1)\). Hier stellt sie die Funktion \(f\) mit
\(f (x) = \frac{1}{1-x}\)
dar.
Aufgabe:
Zeigen Sie dies, indem Sie für spezielle x-Werte die Summe der ersten \(2, 3, 4, 5, \ldots\) Glieder berechnen.
Zeigen Sie dies, indem Sie für spezielle x-Werte die Summe der ersten \(2, 3, 4, 5, \ldots\) Glieder berechnen.
Beispiel 3 (Exponentialreihe):
Die Funktion \(f\) mit
\(f(x) = \sum_{k=0}^\infty {\frac{1}{k!} x^k}\)
ist auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert. Mehr zu dieser speziellen Funktion lernen wir im nächsten Kapitel...
Die Funktion \(f\) mit
\(f(x) = \sum_{k=0}^\infty {\frac{1}{k!} x^k}\)
ist auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert. Mehr zu dieser speziellen Funktion lernen wir im nächsten Kapitel...
Aufgabe:
Berechnen Sie für spezielle x-Werte die Summe der ersten \(2, 3, 4, 5, \ldots\) Reihenglieder.
Berechnen Sie für spezielle x-Werte die Summe der ersten \(2, 3, 4, 5, \ldots\) Reihenglieder.
Aufgaben:
- Skizzieren Sie den Verlauf folgender Potenzfunktionen: \(x^3\), \(x^{\frac{1}{3}}\), \(x^{-3}\), \(x^{- \frac{1}{3}}\)
- Geben Sie für die Polynomfunktion mit \(f(x) = - \frac{1}{4} x^4 + \frac{3}{2} x^2 - 2x -2\) Art und Lage der Extrempunkte, die Wendepunkte und die Nullstellen an.