Aufgaben zum 2. Kapitel "Folgen und Grenzwerte"
Grundlagen der anwendungsbezogenen Hochschulmathematik
2. Folgen und Grenzwerte
2.5. Aufgaben
1. Teil: Figurenfolgen
Aufgabe 1:
In der Abbildung rechts ist eine Eigenschaft der Fibonacci-Zahlen dargestellt. Geben Sie die Eigenschaft allgemein an und beweisen Sie sie!
Aufgabe 1:
In der Abbildung rechts ist eine Eigenschaft der Fibonacci-Zahlen dargestellt. Geben Sie die Eigenschaft allgemein an und beweisen Sie sie!
Aufgabe 2:
Gegeben sei ein Quadrat mit der Seitenlänge \(a\); ihm sind rote Kreise einbeschrieben (Fig. 1, Fig. 2, Fig. 3). Berechnen Sie für die Figuren jeweils den Flächeninhalt der blauen Fläche. Wie könnte man die Folge sinnvoll fortsetzen? Was ergibt sich daraus für den Flächeninhalt der blauen Fläche?
Gegeben sei ein Quadrat mit der Seitenlänge \(a\); ihm sind rote Kreise einbeschrieben (Fig. 1, Fig. 2, Fig. 3). Berechnen Sie für die Figuren jeweils den Flächeninhalt der blauen Fläche. Wie könnte man die Folge sinnvoll fortsetzen? Was ergibt sich daraus für den Flächeninhalt der blauen Fläche?
Aufgabe 3:
Das Quadrat in Figur 0 habe die Seitenlänge \(a\).
Das Quadrat in Figur 0 habe die Seitenlänge \(a\).
- Berechnen Sie den Flächeninhalt der blauen Fläche für die einzelnen Figuren.
- Die Figurenfolge werde nach dem gleichen Prinzip fortgesetzt.
Untersuchen Sie – etwa mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms numerisch –, ob sich der Flächeninhalt einem konstanten Wert annähert.
2. Teil: Zahlenfolgen
Aufgabe 4:
Gegeben ist die Folge \((a_n)_n\) mit \(a_n := \frac{n}{n+1}\)
Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge mit der \(\varepsilon - n_0 -\)Methode.
Aufgabe 5:
Untersuchen Sie die Folgen \((a_n)_n\) und \((b_n)_n\) auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert:
\(a_n := \frac{7n^5 - 2n^2 + 3}{2n^5 - 3n^2 +1}\) und \(b_n := \frac{(-1)^n n^2 + 2}{(n + 2)^2}\)
Aufgabe 6:
Zeige: Ist die Folge \((a_n)_n\) konvergent gegen \(a\), so konvergiert die Folge der Beträge \((|a_n|)_n\) gegen den Wert \(|a|\).
Aufgabe 4:
Gegeben ist die Folge \((a_n)_n\) mit \(a_n := \frac{n}{n+1}\)
Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge mit der \(\varepsilon - n_0 -\)Methode.
Aufgabe 5:
Untersuchen Sie die Folgen \((a_n)_n\) und \((b_n)_n\) auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert:
\(a_n := \frac{7n^5 - 2n^2 + 3}{2n^5 - 3n^2 +1}\) und \(b_n := \frac{(-1)^n n^2 + 2}{(n + 2)^2}\)
Aufgabe 6:
Zeige: Ist die Folge \((a_n)_n\) konvergent gegen \(a\), so konvergiert die Folge der Beträge \((|a_n|)_n\) gegen den Wert \(|a|\).