Grundlagen der anwendungsbezogenen Hochschulmathematik
1. Zahlen und Terme
1.4. Terme und Gleichungen
Terme und erste Gleichungen
Was ist ein Term?
Eine Gleichung besagt, dass zwei mathematische Ausdrücke gleich sind. Gleichheit wird durch das Gleichheits-Symbol „=“ ausgedrückt. Normalerweise enthält eine Gleichung eine oder mehrere Variablen oder Unbekannte. Lösungen der Gleichung sind Werte für die Variablen, so dass die Gleichung erfüllt ist.
Beispiel 1.
\( T(n)=2n \) mit \( n\in \mathbb{N} \)
Der Termausdruck beschreibt alle Vielfachen von zwei.
Grundmenge G. Wird in einen Term für die Variable eine Zahl aus der Grundmenge
G eingesetzt, so lässt sich der zugehörige Termwert berechnen.
- Eine dreistellige natürliche Zahl hat (von links nach rechts) die Ziffern x, y bzw. z. Gib den Term für diese Zahl sowie den Term' für ihre Quersumme an .
- Die Quersumme einer zweistelligen natürlichen Zahl hat den Wert 11 . Gib die Menge aller derartigen Zahlen an und finde einen passenden Term, der alle diese Zahlen beschreibt.
Ähnlich wie bei Brüchen können auch Terme äquivalent sein. Zwei Terme mit Variablen heißen äquivalent, wenn bei jeder möglichen Einsetzung für die Variablen der eine Term stets den gleichen Wert annimmt wie der andere.
- \( 4 + (a + 2) = a + 6\)
- \( 10y-y = 9y\)
- \( 2 \cdot x^2 + x = 5x\)
- \( 8x - 8 = x \)
- \( 14 \cdot 0 \cdot 5 = 70\)
- \( a + 2a + 2 = 3a + 2\)
Was ist eine Gleichung?
Eine Gleichung besagt, dass zwei mathematische Ausdrücke gleich sind. Gleichheit wird durch das Gleichheits-Symbol „=“ ausgedrückt. Normalerweise enthält eine Gleichung eine oder mehrere Variablen oder Unbekannte. Lösungen der Gleichung sind Werte für die Variablen, so dass die Gleichung erfüllt ist.
Beispiel 2.
a) \(5=5\) und \( 4x+2=2(2x+1) \) sind identische wahre Gleichungen: Sie sind wahr für alle Werte für Variablen.
b) \( 1=5 \) und \( x+3 = x+2 \) sind identisch falsche Gleichungen.
c) Die Gleichung \( 3x+1=7 \) ist genau dann wahr, wenn \( x=2 \). Für alle anderen Werte für \( x \) ist sie falsch.
d) Die Lösung der Gleichung \( 2x=ax+5 \) für variables \( x \) und festes \( a \) ist \( x=\frac{5}{2-a} \) unter der Annahme, dass \( a\ne 2 \). Wenn die elbe Gleichung in Bezug zu \( a \) gelöst wird, dann ist \( a=2-\frac{5}{x} \), wobei
Symbolisches Lösen
In diesem Teil werden fundamentale Methoden zur Lösungsfindung von Gleichungen mit einer Variablen behandelt mit dem symbolischen Lösen behandelt. Weitere Methoden werden im Kapitel Funktionen betrachtet, da für diese Lösungsmethoden weiteres Wissen vorausgesetzt wird.
Symbolisches oder algebraisches Lösen einer Gleichung beruht auf der Anwendung mathematischer Operationen auf beiden Seiten der Gleichung, um die Gleichung zu \( x=A \) zu verändern, wobei \( A \) ein Ausdruck ist, der \( x \) nicht enthält. Die häufigsten Operationen sind:
- Eine Zahl oder einen Term auf beiden Seiten der Gleichung addieren oder subtrahieren.
- Eine Zahl oder einen Term, die stets ungleich 0 sind, mit beiden Seiten der Gleichung multiplizieren. Diese Operation deckt auch die Division ab, da dividieren mit \( c \) äquivalent zur Multiplikation mit \( \frac{1}{c} \) ist
- Weiterhin gibt es Operationen wie das Ziehen einer Wurzel, quadrieren bzw. allgemein hoch n nehmen, den Logarithmus anwenden etc., welche auf beiden Seiten der Gleichung angewendet werden können.
Es ist wichtig zu erwähnen, dass nicht alle Operationen die Äquivalenz beibehalten. Bei den beiden ersten Punkten ist dies der Fall, man spricht von sogenannten Äquivalenzumformungen.
Zum Beispiel sind die beiden Gleichungen
\[x+1 = -3x+9 \]
und
\[ 4x=8 \]
äquivalent (in Zeichen \( x+1 = -3x+9 \quad \Leftrightarrow \quad 4x=8 \) ) , da beide die exakt gleichen Lösungen besitzen. Diese können durch die Äquivalenzumformung \( "+ 3x , \, - 1" \) ineinander überführt werden.
Wir wollen zwei Beispiele betrachten, wo Vorsicht geboten ist:
- \( \sqrt{x}=6-x \) kann mit der Umformung "Quadrieren" in die Gleichung \( x=(6-x)^2 \) überführt werden. Beide Gleichungen sind aber nicht äquivalent, da die erste nur für \( x=4 \) wahr ist, die zweite Gleichung aber für \( x=4 \) und \( x = 9 \). Wir haben also eine Lösung "dazugewonnen", die keine ist.
- \( x^2 = 25 \) kann mit der Umformung "Quadratwurzel ziehen" in die Gleichung \( x = 5 \) überführt werden, da die Wurzel stets positives Vorzeichen besitzt. Offensichtlich haben wir aber die Lösung \( x = -5 \) der ersten Gleichung "verloren".
Bei beiden Operationen handelt es sich nicht um Äquivalenzumformungen, es sind aber dennoch essentielle Operationen zum Lösen von Gleichungen. Eine Methode dieses Problem zu Umgehen ist die Verwendung des Zeichens \( \Rightarrow \), z.B in der Form
\[ x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5 \]